[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Natomiast punktowi O przyporządkowujemy liczbę zero, x0 = 0. W ten sposób licz-
ba x0 jednoznacznie określa położenie punktu P na prostej x. Mówimy, że x0 jest
współrzędną punktu P na tej prostej.
Rzutem prostokątnym punktu A na oś x, lub krócej rzutem punktu A na oś x,
nazywamy punkt A , w którym prosta prostopadła do osi x, przechodząca przez
punkt A, przecina oÅ› x.
Definicja. Rzutem wektora a = AB na oÅ› x nazywamy wektor A B , gdzie A
jest rzutem punktu A, a B rzutem punktu B na oÅ› x (rys. 7.6).
B
a
A
i A B x
0 1 A B
Rys. 7.6. Rzut wektora AB na oÅ› x
Wersorem osi x nazywamy taki wektor i, że |i| = 1 oraz wektor i ma kierunek
i zwrot zgodny z os iÄ… x (rys. 7.6).
Jeżeli A B jest rzutem wektora a = AB na oś x, to wektor A B można przed-
stawić w postaci
A B = axi,
gdzie ax " R.
Tak określoną liczbę ax nazywamy współrzędną wektora a = AB na osi x.
Widać, że ax > 0, gdy wersor i oraz rzut A B mają taki sam zwrot; ax
wektory i, A B majÄ… przeciwne zwroty; ax =0, gdy A B jest wektorem zerowym.
Z definicji sumy wektorów i współrzędnej wektora na osi x wynika, że współ-
rzędna sumy wektorów jest równa sumie współrzędnych tych wektorów, czyli
a + b = ax + bx,
x
gdzie a + b współrzędna sumy a + b na osi x.
x
7.2.3. Kąt zwykły i skierowany
Na ustalonej płaszczyznie wezmy pod uwagę dwie półproste OA i OB (rys. 7.7).
Półproste OA i OB dzielą płaszczyznę na dwie części, które nazywamy kątami
zwykłymi. Punkt O jest wierzchołkiem, a OA i OB są ramionami tych kątów. Kąty
te oznaczamy następująco:
AOB lub BOA.
116
BG AGH
7.2. Wektory, kąty i współrzędne
B
2À - ±
±
OA
Rys. 7.7. Ilustracja kątów
W przypadku gdy te półproste pokrywają się, to jeden z tych kątów jest kątem zero-
wym a drugi pełnym.
Kątem skierowanym lub zorientowanym nazywamy kąt zwykły, którego jedno
ramię przyjęto jako początkowe, a drugie jako końcowe. Kąt o ramieniu początkowym
a i końcowymb oznaczamy przez
S(a, b).
Zatem kąty S(a, b) i S(b, a) nie są identyczne różnią się porządkiem ramion
(rys. 7.8)
b b
S(a, b) S(b, a)
a a
Rys. 7.8. Ilustracja kątów skierowanych
Z kątem skierowanym S(a, b) można kojarzyć obrót ramienia a do ramienia b.
W przypadku, gdy z kontekstu jasno wynika czy rozważamy kąt skierowany czy
kąt zwykły, będziemy oba kąty oznaczać tym samym symbolem (a, b).
Na danej płaszczyznie wezmy pod uwagę półprostą wychodzącą z punktu O.
Tę półprostą możemy obracać dookoła punktu O w dwóch przeciwnych kierunkach.
Jeden z nich przyjmujemy za dodatni kierunek strzałki na rysunku 7.9. Przeciwny
kierunek obrotu przyjmujemy za ujemny. Widać, że kierunek obrotu przeciwny do
obrotu wskazówek zegara jest kierunkiem dodatnim, a zgodny z obrotem wskazówek
zegara jest kierunkiem ujemnym. W ten sposób płaszczyzna jest zorientowana, na
płaszczyznie przyjęto orientację obrotu.
117
BG AGH
7. Geometria analityczna
Ox
Rys. 7.9. Orientacja obrotu na płaszczyznie
Wprowadzimy teraz miarę kąta skierowanego S(a, b), innymi słowy określimy
liczbę, która charakteryzuje kąt pod względem wielkości i kierunku na płaszczyznie
zorientowanej.
Niech będzie kąt skierowany S(a, b) na płaszczyznie dodatnio zorientowanej
(rys. 7.10).
b
B
r a
A
O
Rys. 7.10. Ilustracja miary kÄ…ta skierowanego
Wezmy pod uwagę łuk AB okręgu o promieniu r i środku O wwierzchołku kąta
skierowanego S(a, b). Zakładamy, że punkt A leży na ramieniu początkowym a, B na
ramieniu końcowym b kąta S(a, b). Oprócz tego zakładamy, że łuk AB leży wewnątrz
rozważanego kąta. Niech d będzie długością łuku AB.
Miarą łukową kąta zwykłego AOB nazywamy liczbę
d
miara Å‚ukowa =
r
i wyrażamy ją w radianach:
kÄ…t peÅ‚ny ma 2À radianów,
1
kÄ…t prosty ma /2 À radianów,
kąt zerowy ma 0 radianów.
Miarą względną kąta skierowanego S(a, b) (rys. 7.10) nazywamy miarę łukową
d
kąta AOB jeżeli obrót ramienia a do b jest zgodny z dodatnią orientacją płasz-
r
czyzny. Jeżeli natomiast obrót ramienia a do b jest przeciwny do dodatniej orientacji
d
płaszczyzny, to za względną miarę S(a, b) przyjmujemy - . Oznacza to, że kąt
r
skierowany S(a, b) ma względną miarę łukową o przeciwnym znaku niż S(b, a).
118
(
(
(
BG AGH
7.2. Wektory, kąty i współrzędne
7.2.4. Kąty między wektorami
Wezmy pod uwagę dwa niezerowe wektory a i b. Niech a i b będą półosiami
o kierunku i zwrocie zgodnym, odpowiednio, z a i b. Oprócz tego zakładamy, że obie
półosie mają wspólny początek O (rys. 7.11).
b
b
a
(a, b)
Oa
Rys. 7.11. Kąt między wektorami
Półosie a i b dzielą płaszczyznę na dwa kąty. Nie większy z tych kątów ozna-
czamy przez (a, b) i nazywamy kątem między wektorami a i b. Jest to kąt zwykły
o ramionach a i b . Tak określony kąt spełnia warunek
0 (a, b) À.
Jeżeli a jest wektorem oraz x jest osią, to przez (x, a) rozumiemy (x , a ), gdzie x
jest dodatnią półosią osi x, natomiast a jest półosią o kierunku i zwrocie zgodnym
[ Pobierz całość w formacie PDF ]